$Progressive(PGR)$ ““日历年度已发生赔款是已付赔款与准备金变动的总和。此外，它还可以进一步细分为当期事故年度和所有过往事故年度对当前日历年所贡献的赔款。

现在，我们将使用一个来自Progressive个人汽车某州综合险（comprehensive coverage）的历史案例，来说明如何有效回答前述两个“定价基本问题”。所有金额单位均为千美元。

我们首先能直接获得的数据是：过去十二个月的日历年度已发生赔款为4324万美元。如前所述，日历年度已发生赔款可细分为当期事故年度与过往事故年度的贡献部分。如图所示，我们可以看到当期事故年度和所有过往事故年度均呈现出相同的“已付赔款 + 准备金变动”模式。

我们现在将用这个简单示例，为公式中的每一项填入具体数值。在这个例子中，当我们从4.324亿美元的日历年度已发生赔款中，单独提取出本事故年度的贡献时，我们发现当期事故年度的已发生赔款为4.356亿美元。

日历年度已发生赔款的另一组成部分是过往事故年度的贡献，也称为“过往事故年度结转”（prior accident year runoff）。在本例中，该值为负32.7万美元。

这4.356亿美元的当期事故年度赔款，正是我们用来回答“定价基本问题”的起点。

**无偏估计的最终事故年度赔款 = 事故年度已发生赔款 × 赔款发展因子**

【损失准备金管理的目标是设定充足的财务准备金，使其从事故发生之日到最终结案期间的波动最小化。】我们通过观察历史事故年度赔款随着时间推移的发展情况来实现这一目标，这些数据通常以“赔款发展三角形”（loss development triangle）的形式呈现，如右上角图表所示。

由此计算出的比率即为“赔款发展因子”（loss development factor）。在本例中，理赔部门和准备金管理部门所设定的准备金从历史来看是充足的，因此该赔款发展因子略小于1，为0.99。

至此，我们还可以引入另一项容易获取的数据：过去十二个月的日历年度已赚保费为6.114亿美元。

**理赔费用（LAE）与赔款高度相关**

理赔费用可分为两部分：

1. **抗辩与成本控制费用（Defense and Cost Containment, DCC）**：包括诉讼抗辩和医疗成本控制费用，无论是内部成本还是外部费用。

2. **理赔及其他费用（Adjusting and Other, A&O）**：包括理赔处理和其他间接费用，同样涵盖内部成本和外部费用。

这两类费用在短期内和长期内都可能发生变化，影响因素包括律师代理率、法律法规变化、理赔部门运营效率的提升等。但总体而言，它们通常随赔款的变化而同步变动。

在本例中，我们设定LAE为赔款的12%。

**部分成本具有均值回归特性**

构建“基本定价方程”的预测过程涉及两种不同的时间序列形式：

1. **平稳时间序列**（左图）：这类序列倾向于回归历史均值，因此需要较长的历史经验期才能做出有效的未来预测。天气就是一个典型的适用此类方法的例子。但必须注意，由于未来定价周期内环境可能发生改变，历史均值本身是否需要略微调整。

2. **非平稳时间序列**（右图）：这类序列不回归历史均值，而是主要受趋势和季节性因素主导。我们将在分析频率趋势、严重度趋势和保费趋势时进一步讨论这一点。

在本例中，最近一年包含了1400万美元的风灾、洪水和冰雹赔款，远高于我们的长期预期平均水平。因此，将其调整回长期预期水平意味着需要应用一个“天气因子”（weather factor）0.926。

对于商业保险业务，另一个需要考虑“均值回归”范式的重要领域是大额赔款的处理。与天气因素类似，我们也需谨慎判断，由于未来环境变化，历史均值是否需要适当调整。

**赔款频率与严重度随时间变化**

是什么驱动了频率和严重度的变化？本质上，时间在这里是一个细分变量。它有助于将赔款的乘法性构成因素分开，因为驱动频率和严重度的因素可能不同。

- **频率**（Frequency）：指发生索赔的概率。

- **严重度**（Severity）：指索赔本身的金额大小。

**影响频率的因素**包括：

- 汽车技术

- 安全法规

- 产品结构（如免赔额、客户等级）

- 州别构成

- 新业务增长与客户留存率

- 天气与季节性

- 核保与计费政策

除了趋势本身的幅度外，我们需要进行趋势调整的月数也很重要。这取决于“从数据分析到定价、提交审批、获批并实施费率修订”的时间，以及保单期限和费率修订周期的长度。

还记得之前提到的“靶心图”吗？我们的估计精确度会随着预测时间越远而下降，即结果的离散程度（spread）越大。这一点在商业车险中尤为重要，因为其多为一年期保单，导致我们必须预测更长时间的趋势。

在本例中，我们估计频率年趋势为+1%，需从历史时期中点向前推约十六个月，应用于未来定价周期的平均事故日期。

**严重度**的变化过程与此类似。

**影响严重度的因素**包括：

- 汽车技术

- 安全法规

- 产品结构（如保额限额）

- 州别构成

- 医疗通胀

- 二手车价格

- 汽车零部件通胀

- 维修厂人工费率

- 天气与季节性

- 理赔人员配置

在本例中，我们估计严重度年趋势为+7%。与频率趋势一样，该趋势也需要从历史时期中点向前推约十六个月，应用于未来定价周期的平均事故日期。”